Dane o rozprawie doktorskiej

Rodzaj pracy	Rozprawa doktorska
Data uzyskania stopnia	10.01.2007
Uzyskany stopień naukowy	Doktor nauk matematycznych
Promotor	Dr hab. Jolanta Misiewicz, Uniwersytet Zielonogórski Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Recenzenci	Prof. dr hab. Władysław Szczotka, Uniwersytet Wrocławski Prof. dr hab. inz. Jacek Wesołowski, Politechnika Warszawska
Jednostka prowadząca przewód	Uniwersytet Zielonogórski, Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Miejsce pracy autora rozprawy	Uniwersytet Zielonogórski Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Dziedzina naukowa	Nauki matematyczne
Dyscyplina naukowa	Matematyka
Specjalność naukowa	Teoria prawdopodobieństwa, procesy stochastyczne
Sposób zgłoszenia rozprawy, dostępność, liczba stron	nie ogłoszono, s. 79
Wydawca
Słowa kluczowe	Problem Dugue, rozkłady geometrycznie nieskonczenie podzielne, rozkłady grometrycznie semistabilne

Streszczenie

Rozprawa dotyczy dwóch zagadnień połączonych ze sobą ideą geometrycznych sum losowych: problemu D. Dugue oraz charakteryzacji rozkładów geometrycznie nieskończenie podzielnych i pewnych ich podklas. Zagadnienie pierwsze polega na scharakteryzowaniu zbioru par rozkładów Il i v, dla których pewna ich kombinacja wypukła jest równa ich splotowi. Problem ten został sformulowany w nieco innej postaci przez D. Dugue. Uzyskujemy twierdzenie pozwalające na badanie problemu Dugue w terminach klasy ułamków prostych funkcji charakterystycznej. Podany zostaje pierwszy przykład trzech miar probabilistycznych, dla których ich pewna kombinacja wypukła jest równa ich splotowi. Scharakteryzowane są rozkłady, dla których dwie metody symetryzowania dają w wyniku ten sam rozkład. Drugie zagadnienie dotyczy rozkładów geometrycznie nieskończenie podzielnych (GID). Pojawiły się one w odpowiedzi na pytanie W. Zolotariewa, który pytał o rozkłady spełniające pewien szczególny warunek stabilności. Do rozkładów z tej klasy należą znane rozkłady: wykładniczy, Laplace'a, asymetryczny rozkład Laplace'a, rozkłady Mittaga-Lefflera, rozkłady Linnika. W pracy pokazane zostało, że rozkłlady GID są rozkładami granicznymi dla ciagów rozkłladów geometrycznych sum losowych. Rozwazane sa rozklady geometrycznie scisle semistabilne (GSSe) i geometrycznie semistabilne (GSe) jako kierunki rozszerzeń istniejących w literaturze badań nad podklasą rozkładów GID, zwanych geometrycznie stabilnymi (GSt). W rozprawie, zmienne losowe GSSe scharakteryzowane zostają jako granice według rozkladu ciagów wazonych sum geometrycznych. W terminach metryk Zolotariewa i Racheva opisana jest szybkość zbieżności takiego ciągu do jego granicy. Wskazana zostaje własność 1/a-rozkladalności zmiennej GSSe. Zdefiniowane zostają nowe zmienne losowe nazwane geometrycznie semistabilnymi (GSe). Klasa tych zmiennych zawiera w sobie zarówno klasę GSSe, jak i klasę GSt. Podajemy różne charakteryzacje zmiennych losowych z nowej klasy GSe. Pokazano, że rozkscady GSe są związane z rozkscadami semistabilnymi rozważanymi przez Maejima. Podano charakteryzacje funkcji charakterystycznej rozkładu GSe, z której wynika kiedy rozkład GSe jest rozkładem GSSe, GSt, czy GSSt.

Abstract

This PhD thesis concerns two issues connected by idea of geometrie random sums: the first issue is a Dugue's problem, the second issue is a problem of characterizations of geometrie infinitely divisible distributions and some of their subclasses. The Dugue's problem relies on characterizing of distributions !.l, v for which their convex combination is equal to their convolution. We obtained a theorem which allows us to treat Dugue's problem in terms of the simple fractions class of characteristic function. A first example of three measures for which their convex combination is equal to their convolution is given. The distributions for which two methods of probabilistic symmetrizations coincide are characterized. The second issue concerns the geometrically infinitely divisible (GID) distributions. Such laws appeared as an answer to the question of V. Zolotarev, who asked about distributions satisfying some stability condition. The known GID are, for example, exponential, Laplace, asymmetric Laplace, Mittag-Leffler, Linnik distributions. We showed that GID distributions are weak limits of the distributions of geometrie random sums. We consider som e subclasses of GID distributions, namely geometrically strictly semistable (GSSe) and geometrically semistable (GSe) laws as the generalizations of existing in the literature geometrically stable (GSt) laws. We characterize the GSSe random variabies as limits (in the sense of convergence in distribution) of the weighted geometrie random sums sequences. The rate of convergence is investigated in the terms of Zolotarev's and Rachev's probability metrics. A property of 1/a-decomposability of GSSe random variabies is pointed. We define new random variabies called geometrically semistable (GSe). A set of GSe random variabies includes GSSe and GSt random variabies. We give various characterizations of the new class GSe. A correspondence between GSe and semistable (Se) distribution is proved. We give also a characterization of GSe characteristic function from which follows when GSe characteristic function is GSSe, GSt, or GSSt.